Liste des leçons d'analyse et de probabilités 2009

201	Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications.
202	Séries à termes réels positifs. Applications.
203	Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi­convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus).
204	Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes.
205	Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l'approximation des fonctions.
206	Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.
207	Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.
208	Théorème du point fixe. Applications.
209	Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples.
210	Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples.
212	Série de Fourier d'une fonction périodique ; propriétés. Exemples.
213	Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombre .
215	Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications.
216	Théorèmes des accroissements finis. Applications.
217	Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications.
218	Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications.
219	Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples.
220	Méthodes de calcul approché d'une intégrale. Majoration de l'erreur.
221	Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples.
222	Intégrale d'une fonction numérique continue par morceaux sur un segment. Propriétés.
223	Intégrales de fonctions dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications.
224	Équations différentielles linéaires d'ordre deux : x'' + a(t)x' + b(t)x = c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes.
225	Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants ; écriture matricielle. Exemples.
227	Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité. Fonctions composées. Fonctions de classe C1. Exemples.
228	Théorème des accroissements finis pour une fonction réelle de classe C1 définie sur un ouvert convexe de Rn. Étude des extremums.
229	Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale. Approximations de cette loi.
230	Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples.
231	Espérance, variance ; loi faible des grands nombres.
232	Variables aléatoires possédant une densité. Exemples.
233	Approximation d'un nombre réel. Théorie et méthodes.
234	Équations différentielles.
235	Exponentielles et logarithmes.
236	Continuité, dérivabilité des fonctions d'une variable réelle.
237	Intégrales et primitives.
238	Le nombre π.
240	Problèmes d'extremums pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles.
241	Diverses notions de convergence (on pourra se placer dans des contextes variés). Exemples.
242	Suites de nombres réels.
243	Fonctions numériques de deux variables réelles ; courbes de niveau, gradient.
244	Égalités et inégalités. Par exemple : Cauchy-Schwarz, Parseval, convexité. . .
245	Équations fonctionnelles.
246	Applications de l'analyse au calcul des grandeurs (aires, volumes. . .).
247	Limites à l'infini.
248	Mouvement à accélération centrale.
249	Loi normale.
250	Algorithmes de résolution approchée d'une équation numérique
251	Algorithmes de calcul du terme général d'une suite numérique et de la somme partielle d'une série numérique.
252	Algorithmes de calcul approché d'intégrales.
253	Algorithmes d'approximation des solutions d'une équation différentielle.
254	Algorithmes d'approximation d'un nombre réel.
255	Algorithmes d'approximation du nombre .
256	Vitesse de convergence, accélération de convergence.