Sujets posés à l'agrégation interne de Mathématiques en 2011

Leçons d’algèbre et géométrie

101 : Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.
102 : Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.
103 : Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications.
104 : Nombres premiers.
106 : PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications.
108 : Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d’une famille de vecteurs.
109 : Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples.
110 : Polynômes d’endomorphismes en dimension finie. Applications.
111 : Changements de bases en algèbre linéaire. Applications.
112 : Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Applications.
113 : Déterminants. Applications.
117 : Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3.
120 : Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Applications.
121 : Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Applications géométriques.
119 : Utilisation des nombres complexes en géométrie.
123 : Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications.
125 : Isométries de l’espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites.
128 : Barycentres. Applications.
129 : Droites et plans dans l’espace.
137 : Droites et cercles dans le plan affine euclidien.
142 : Utilisation de groupes en géométrie.
143 : Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.
144 : Différentes notions de rang en algèbre linéaire.
146 : Coniques.
147 : Courbes planes paramétrées.
148 : Angles dans le plan.
150 : Diverses factorisations de matrices.
151 : Réduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Systèmes linéaires.
156 : Valeurs propres. Recherche et utilisation.
157 : Arithmétique dans Z.
158 : Actions de groupes. Exemples et applications.
159 : Algorithme d’Euclide dans Z. Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout. Applications.
160 : Algorithme du pivot de Gauss. Applications.
161 : Étude métrique des courbes planes.

Leçons d’analyse et probabilités

201 : Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications.
202 : Séries à termes réels positifs. Applications.
203 : Séries à termes réels ou complexes: convergence absolue, semi-convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus).
204 : Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes.
205 : Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l’approximation des fonctions.
206 : Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.
207 : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications en analyse, en analyse numérique.
208 : Théorème du point fixe. Applications.
209 : Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples.
210 : Séries entières de variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples.
212 : Série de Fourier d’une fonction périodique ; propriétés de la somme. Exemples.
213 : Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombre π.
215 : Comparaison d’une série et d’une intégrale. Applications.
216 : Théorèmes des accroissements finis pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles. Applications.
217 : Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications.
218 : Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle. Applications.
219 : Fonction réciproque d’une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples.
220 : Méthodes de calcul approché d’une intégrale. Majoration ou estimation de l’erreur.
221 : Intégrale impropre d’une fonction continue sur un intervalle de R (l’intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples.
222 : Intégrale d’une fonction numérique continue par morceaux sur un segment. Propriétés.
223 : Intégrale d’une fonction dépendant d’un paramètre. Propriétés, exemples et applications.
224 : Équations différentielles linéaires d’ordre deux : x″+ a(t)x′+b(t)x=c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes.
225 : Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants ; écriture matricielle. Exemples.
227 : Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité. Fonctions composées. Fonctions de classe C1. Exemples.
228 : Recherche d’ extremums pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles.
229 : Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale. Approximations de cette loi.
230 : Probabilité conditionnelle et indépendance. Variables aléatoires indépendantes. Variance, covariance.
231 : Espérance, variance ; loi faible des grands nombres.
232 : Variables aléatoires possédant une densité. Exemples.
233 : Méthodes d’approximation d’un nombre réel, exemples.
234 : Équations différentielles non linéaires du premier ordre.
235 : Fonction exponentielle de variable réelle, complexe, matricielle...
237 : Intégrales et primitives.
238 : Le nombre π.
241 : Diverses notions de convergence en analyse ou en probabilités. Exemples.
243 : Différentiabilité d’une fonction numérique de deux variables réelles, gradient ; applications.
244 : Inégalités avec étude des cas d’égalité. Par exemple : Cauchy-Schwarz, Parseval, convexité...
246 : Applications de l’analyse au calcul des grandeurs (longueur, aire, volume...).
249 : Loi normale en probabilités.
251 : Algorithmes de résolution approchée d’une équation numérique.
252 : Algorithmes de calcul approché d’intégrales.
253 : Algorithmes d’approximation des solutions d’une équation différentielle.
255 : Algorithmes d’approximation du nombre π.
256 : Vitesse de convergence, accélération de convergence.
257 : Écriture décimale d’un nombre réel ; cas des nombres rationnels.

Exemples et exercices d’algèbre et géométrie

301 : Exercices sur les groupes.
302 : Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z.
303 : Exercices faisant intervenir la division euclidienne.
304 : Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.
305 : Exercices faisant intervenir les nombres premiers.
306 : Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM et mettant en œuvre des algorithmes associés.
307 : Exercices faisant intervenir des dénombrements.
308 : Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d’un polynôme.
309 : Exercices faisant intervenir des polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.
310 : Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes.
311 : Exercices illustrant l’usage de la notion de rang dans des domaines variés.
312 : Exercices illustrant l’emploi de matrices inversibles dans des domaines variés.
313 : Exercices illustrant l’utilisation de systèmes linéaires.
314 : Exercices illustrant l’utilisation de déterminants.
315 : Exercices illustrant l’utilisation de vecteurs propres et valeurs propres dans des domaines variés.
317 : Exercices sur les endomorphismes diagonalisables.
319 : Exercices faisant intervenir des algorithmes de calcul matriciel.
320 : Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimensions 2 et 3.
321 : Exercices illustrant l’utilité de la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
322 : Exercices sur les formes quadratiques.
323 : Exercices de géométrie résolus à l’aide des nombres complexes.
325 : Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimensions 2 et 3.
326 : Exercices faisant intervenir la notion de barycentre ou d’application affine.
330 : Exercices faisant intervenir les angles et les distances en dimensions 2 et 3.
332 : Exercices sur les cercles.
334 : Exercices sur les coniques.
335 : Exercices sur les courbes planes.
339 : Exemples d’étude des isométries laissant invariante une partie du plan, une partie de l’espace.
340 : Exercices faisant intervenir des groupes en géométrie.
345 : Exercices sur les triangles.
346 : Exemples de résolution de problèmes modélisés par des graphes.
347 : Exercices faisant intervenir la trigonométrie.

Exemples et exercices d’analyse et probabilités

401 : Exemples d’étude de suites de nombres réels ou complexes.
402 : Exemples d’étude de suites ou de séries divergentes.
403 : Exemples d’étude de suites définies par une relation de récurrence.
404 : Exemples d’étude de la convergence de séries numériques.
405 : Exemples de calcul exact de la somme d’une série numérique.
406 : Exemples de comportement asymptotique de suites ; rapidité de convergence.
407 : Exemples d’évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de sommes partielles de séries divergentes.
408 : Exemples d’étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes.
409 : Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux.
410 : Comparaison, sur des exemples, de divers modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions.
411 : Exemples d’étude de fonctions définies par une série.
412 : Exemples de développements en série entière. Applications.
413 : Exemples d’emploi de séries entières ou trigonométriques pour la recherche de solutions d’équations différentielles.
414 : Exemples de séries de Fourier et de leurs applications.
415 : Exemples d’applications du théorème des accroissements finis et de l’inégalité des accroissements finis pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles.
417 : Exemples illustrant divers modes d’approximation de fonctions numériques.
418 : Exemples d’utilisation de développements limités de fonctions d’une ou plusieurs variables..
421 : Exemples de calcul exact ou approché de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment.
422 : Exemples d’étude d’intégrales impropres.
423 : Exemples d’utilisation des théorèmes de convergence dominée et de convergence monotone.
425 : Exemples de calculs d’aires et de volumes.
426 : Exemples et applications de calculs d’intégrales multiples.
427 : Exemples d’étude de fonctions définies par une intégrale.
428 : Exemples d’étude et de résolution d’équations différentielles scalaires.
429 : Exemples d’étude et de résolution de systèmes différentiels linéaires.
430 : Exemples d’équations différentielles issues des sciences expérimentales ou de l’économie.
431 : Exemples de recherche d’extremums d’une fonction numérique d’une ou plusieurs variables réelles.
432 : Exemples d’approximations d’un nombre réel.
433 : Approximations du nombre π.
434 : Exemples d’utilisation de changement de variable(s) en analyse.
435 : Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes.
436 : Exemples d’applications de l’intégration par parties.
437 : Exercices faisant intervenir des variables aléatoires.
439 : Exemples d’étude et de calcul de la norme d’une application linéaire continue.
440 : Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes (longueur, courbure...).
441 : Exemples de systèmes différentiels linéaires en dimension 2 ou 3. Allure des trajectoires.
442 : Exercices illustrant l’utilisation des probabilités dans des domaines variés des mathématiques.
443 : Exemples de méthodes et d’algorithmes de résolution approchée d’équations F(X)=0, X désignant une variable réelle ou vectorielle.
444 : Exemples d’algorithmes de calcul approché de la limite d’une suite, de la somme d’une série.
445 : Exemples de résolution exacte et de résolution approchée d’équations différentielles scalaires.

Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA